قدرت اعداد

نگاهي به كاربرد مفاهيم ساده رياضي در زندگي روزمره

سال ها پيش در يكي از كلاس هاي رياضيات مدارس آلمان، آموزگار براي اينكه مدتي بچه ها را سرگرم كند و به كارش برسد؛ از آنها خواست تا مجموع اعداد از يك تا صد را حساب كنند. پس از چند دقيقه يكي از شاگردان كلاس گفت: مجموع اين اعداد را پيدا كرده و حاصل عدد ۵۰۵۰ مي شود. با شنيدن اين عدد معلم با حيرت فراوان او را به پاي تخته برد تا روش محاسبه خود را توضيح دهد. به نظر شما اين شاگرد باهوش كه بعدها يكي از بزرگ ترين و معروف ترين رياضيدانان دنيا شد، چه روشي را به كار بست؟ او اعداد يك تا صد را به رديف پشت سرهم نوشت، سپس بار ديگر همين اعداد را بالعكس، اين بار از صدتا يك، درست در رديف زيرين اعداد قبلي نوشت. طوري كه هر عدد زير عدد رديف بالاتر قرار گرفت.وي مشاهده كرد كه مجموع هر كدام از ستون هاي به وجود آمده ۱۰۱ است. سپس نتيجه گرفت كه صد تا عدد ۱۰۱ داريم كه حاصل مجموع آنها مي شود ۱۰۱۰۰=۱۰۱*۱۰۰. پس از آن تنها كافي بود كه اين مجموع به دست آمده نصف شود يعني:
۵۰۵۰=۲/۱۰۱۰۰

ادامه نوشته

فیثاغورث

ساموس محلی که سالهای اولیه فیثا غورث در آن  سپری  شده    است جزیره بزرگ ناهمواری ،ازجزایر دریای  اژه  است  که

درمقابل ساحل آسیای صغیرقرارگرفته است نزدیکترین   نقطه

آن به آسیا یعنی مکانی که درشکل گیری بعدی فیثا غورث قابل توجه می باشد چند کیلومتری  بیشتر فاصله ندارد .

پدرفیثاغورث(منسارخوس) طبیعتا ً استطاعت مالی لازم  برای تحصیل پسرش راداشت.چونازروزگارباستان فقط  یک  روایت بدخواهانه وجودداردکه می گویدفیثاغورث حسابداربوده  وپیشه  پدری یعنی تجارت را فرا گرفته بود.

اگر منسارخوس یک  تاجربوده  پس  این  امر طبیعی  است  که فیثاغورث او را در بعضی از سفرهایش  همراهی کرده باشد  و حتی ممکن است در باره دفتر کل  یا  معادل آن در زمان باستان مطالبی هم آموخته باشدولی اینکه علا قه فیثاغورث به  ریاضیات ازموازنه نمودن حسابهای تجاری ناشی شده باشد، اشتباه است.

 جوانی فیثاغورث به خوبی مستندنشده وبیشترآن درافسانه و حکایت پوشیده است .درمورد والدین وموطن اواقتشاش زیادی وجوددارد.ولی با اطمینان می توان گمان بردکه روزهای اولیـه اش را در ساموس گذرانده باشد.

ادامه نوشته

مسابقات رياضي

سابقه تاريخي مسابقات رياضي به زماني  باز مي گردد كه مسابقات رياضي دانش آموزي در كشور مجارستان آغاز شد و پس از آن رفته رفته، كشورهاي ديگر به منظور تشويق و ترغيب دانش آموزان به فراگيري رياضيات به برگزاري مسابقات رياضي دست زدند تا اين كه در سال 1959 ميلادي كشور روماني به ابتكار برگزاري اولين المپياد بين المللي رياضي دست زد، در اولين المپياد فقط 6 كشور حضور داشتند ولي به مرور كشورهاي بيشتري به المپياد پيوستند.سال 1959 ميلادي (1338 هجري شمسي) بخارست پايتخت كشور روماني ميزبان 6 كشور اروپاي شرقي (بلوك شرق) به عنوان نخستين برگزار كننده المپياد رياضي بود. كشورهاي مجارستان, چكسلواكي, لهستان, اتحاد جماهير شوروي, بلغارستان و آلمان شرقي با مجموع 52 دانش آموز در اين دوره از مسابقات شركت كردند.

ادامه نوشته

معماي 2200 ساله

معماي 2200 ساله

 بازخواني دست نوشته ارشميدس

گينا كولاتا - ترجمه ناصر گوهري

:بيست و دو قرن پيش، ارشميدس رياضيدان بزرگ يونان، مقاله اي نوشت كه استوماكيون (Stomachion) نام گرفت. اين مطلب برخلاف ديگر نوشته هاي ارشميدس خيلي زود به ورطه فراموشي سپرده شد، چرا كه پس از ارشميدس كسي منظور اين مقاله را درك نكرد. اما پس از گذشت ۲۲۰۰ سال از آن زمان، رياضيداني كه روي مسائل تاريخي تحقيق مي كند، راز دستنوشته ارشميدس را كشف كرد. اين دانشمند با بررسي يكي از قديمي ترين دستنوشته هايي كه راهبان مذهبي در چند صد سال پيش نوشته بودند، معماي به جامانده از ارشميدس را حل كرد. با اين كشف پنجره اي نو به يكي ديگر از آثار نابغه بزرگ گشوده شد. نابغه اي كه وقتي روش زيركانه اي براي تعيين خالص بودن طلاي تاج پادشاه پيدا كرد، ناگهان فرياد زد: «يافتم». كرد، ناگهان فرياد زد: «يافتم»

ادامه نوشته

نقش مسلمانان در پیشرفت ریاضیات

مسلمانان علم ریاضی ، خاصه جبر و مقابله را به گونه ای پیشرفت دادند که می توان گفت آنان موجد این علم می باشند.اگر اصول و مبادی علم ریاضیات قبل از اسلام در دنیا وجود داشت ، لکن مسلمین انقلابی در آن ایجاد کردند و از جمله اینکه قبل از دیگران جبر و مقابله را در هندسه بکار بردند.
جبر و مقابله تا بدانجا مورد توجه آنان بود که مأمون عباسی در قرن سوم هجری ( قرن نهم میلادی ) به ابومحمد بن موسی ، یکی از ریاضیدانهای دربار خود امر کرد کتاب سادة عام الفهمی در جبر و مقابله تآلیف نماید.
محمدبن موسی ( فوت در سال 257 یا 259 هـ. ق. ) یکی از سه برادر دانشمندی بود که به بنوموسی شهرت داشتند.در نیمةدوم قرن سوم هجری ثابت بن قره( 221-228 هـ. ق. )طبیب ،ریاضیدان و منجم حوزه علمی بغداد خدمات بسیاری را در زمینه ترجمه کتابهای علمی از زبانهای سریانی و یونانی به زبان عربی انجام داد.
وی دارالترجمه ای تأسیس کرد که بسیاری از دانشمندان آشنا به زبانهای خارجی در آن کار میکردند. در این دارالترجمه بسیاری از آثار یونانیان نظیر آپولونیوس ، اقلیدس ، ارشمیدس ، تئودوسیوس ، بطلمیوس ، جالینوس و ائوتوکیوس به وسیله او یا تحت سرپرستی وی به عربی ترجمه شد.

ادامه نوشته

محاسبه عدد π

کمی بیش از دو قرن است که نسبت  طول محیط دایره را  به قطر آن ،با نشانهπ می شناسند. این نشانه حرف اول یک کلمه یونانی به معنای محیط است.برای نخستین بار «ویلیام جون»،ریاضیدان انگلیسی،در سال 1706 از این نشانه استفاده کرد و از میانه سده هجدهم که« لئونارد اولر» کتاب «آنالیز» خود را چاپ  کرد دیگر در همه جا به کار رفت.ولی خود مفهوم این عدد (البته بدون اینکه نشانه ای برای ان در نظر گرفته شده باشد )،بیش از چهارهزار سال سابقه دارد.آنها که هرم مشهور « خئوپو س » رامورد بررسی قرار د اده اند در نسبت اندازه های آن،رد پاهای اشکاری از این نسبت یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن دیده اند: خارج قسمتی که از تقسیم مجموع دو ضلع قاعده بر ارتفاع هرم به دست می آید، مساوی  1416/3 است واین همان مقدار عدد π است که سه رقم بعد از ممیز ان دقیق است. «پاپیروس» معروف به «آهمس» روش زیر را برای ساختن مربعی که سطح دایره داشته باشد ،ذکر می کند: «از قطر دایره ، یک نهم آن را کنار بگذارید و مربعی بسازید که ضلع آن مساوی اندازه بقیه قطر باشد . این مربع هم ارز دایره خواهد بود .» از این مطلب نتیجه می شود که مقدار π برای آهمس ، برابر 1650/3 بوده است . ظاهرا" سازندگان همرم ها ، از راز این عدد آگاه بوده اند.

در جریان چهار هزار سال بعد ، عددد  πدچار دگرگونی های شدیدی شد . مقدار آن از ، که ارشمیدس داده بود و به صورت اعشاری آن ، ت دو رقم اعشار بعد از ممیز درست است ، به مقدار دقیق آن در سده نوزدهم رسید که تا 707 رقم درست آن معلوم شد . در زمان ما به کمک حسابگرهای الکترونی ، مقدار عدد π تا بیش از 1000000 رقم بعد از ممیز محاسبه شده است . سال 1882 را می تون در تاریخ عدد π ، تاریخ دگرگونی مهمی دانست . در این سال ، « لیندمان » ریاضیدان آلمانی ، خصلت اسرارآمیز این عدد را مشخص کرد : « عدد π نمی تواند ریشه ی یک معادله جبری با ضریب های صحیح باشد.»

تاريخچه و علل ايجاد مفهوم ابهام كولموگروف

تعاريف اوليه ابهام كولموگروف

ذكر خصوصيات پايه و چند نامساوي مشهور

مثالهايي از محاسبه اين ابهام در چند مورد

رابطه بين ابهام كولموگروف و آنتروپي يك متغير تصادفي

احتمال جامع و رابطه آن با ابهام كولموگروف

بعضي از كاربردهاي عملي و تئوري اين مفهوم

& تاريخچه ايجاد مفهوم ابهام كولموگروف (Kolmogorov Complexity  )

ادامه نوشته

ریاضی و قرآن

ريا ضي و قرآن   

   .1.آخرين سوره نازل شده بر قلب مبارك حضرت رسول ( ص ) (سوره نصر)

 دارا ي 19 كلمه است .

 

 2.اولين آيه از اين سوره داراي 19 حرف مي باشد .   

 

3. تعداد كل سوره هاي قرآن 114 است كه خود مضربي از عدد 19 مي باشد .

 

 4. مجموع ارقام تعداد آيات كل قرآن كريم  عدد 19 مي باشد  6+3+4+6=19

البته بايد توجه كرد كه برخي آيات بسم ا  الرحمن الرحيم ابتدا ي سوره ها شماره

گذاري نمي كنند و تعداد 6346 آيه با احتساب بسم ا . . .ها مي باشد .

 

5. تعداد دفعات ذكر شدن كلمه جلاله ( الله ) در قرآ ن كريم 2698 مي باشد كه

 باز هم مضربي از عدد 19 است .

 

6. تعداد دفعات تكرار كلمات الرحمن و الرحيم  به ترتيب 57 و 114  است كه

 باز هم مضرب 19 مي باشد .

 

 7. اولين سوره اي كه بر پيامبر نازل شد ( سوره علق ) 19 آيه دارد .

 

راز استفاده از عدد پی

راز استفاده از عدد پي در ساخت تخت جمشید

مهندسان هخامنشي راز استفاده از عدد پي (3.14 ) را 2500 سال پيش كشف كرده بودند. آنها در ساخت سازه هاي سنگي و ستون هاي مجموعه تخت جمشيد كه داراي اشكال مخروطي است، از اين عدد استفاده مي كردند. عدد پي )  ( p ۳/۱۴در علم رياضيات از مجموعه اعداد طبيعي محسوب مي شود. اين عدد از تقسيم محيط دايره بر قطر آن به دست مي آيد. كشف عدد پي جزو مهمترين كشفيات در رياضيات است. كارشناسان رياضي هنوز نتوانسته اند زمان مشخصي براي شروع استفاده از اين عدد پيش بيني كنند. عده زيادي، مصريان و برخي ديگر، يونانيان باستان را كاشفان اين عدد مي دانستند اما بررسي هاي جديد نشان مي دهد هخامنشيان هم با اين عدد آشنا بودند.

ادامه نوشته

اعداد فیبوناتچی و طبیعی

اعداد فيبوناتچي و طبيعت

اين مقاله شامل دو بخش است.

در بخش اول دنباله ي فيبوناتچي را معرفي مي كنيم و در بخش دوم كاربرد اين دنباله و نسبت طلايي را در طبيعت ارائه مي دهيم.

بخش اول عبارت است از:

الف) خرگوش هاي فيبوناتچي

ب) زنبورهاي عسل ونمودار درختي

ج) اعداد فيبوناتچي و نسبت طلايي

د) مستطيل هاي فيبوناتچي و مارپيچ ها

بخش دوم عبارت است از:

ه) اعداد فيبوناتچي و نسبت طلايي در گياهان

و) اعداد فيبوناتچي در انگشتان

 

ادامه نوشته

اصل پنجم اقلیدس

اصل پنجم اقلیدس

اقلیدس در کتاب اصول اقلیدس هنگامی که بنیاد هندسه‌یی را می‌گذاشت، که به مدت بیش از دو هزار سال تنها هندسه‌ی موجود بود، پنج اصل موضوع و پنج اصل متعارفی را به عنوان اصول بدیهی و بدون نیاز به اثبات پذیرفت تا بتواند بقیه قضایای هندسی را اثبات کند. اصل پنجم آن‌گونه که اقلیدس بیان کرد این‌گونه است: اگر دو خط راست بوسیله‌ی یک خط سوم قطع شوند، در همان طرفی از خط سوم که زوایای داخلی، مجموع کوچکتر از دوقائمه تشکیل می‌دهند یک‌دیگر را قطع می‌کنند. این اصل در شکل امروزی آن اینگونه بیان می‌شود: اگر دو خط به وسیله‌ی موربی چنان قطع شوند که مجموع اندازه‌ی درجه‌های دو زاویه‌ی درونی واقع در یک طرف مورب کمتر از 180 درجه باشد، آنگاه این دو خط یک‌دیگر را در همان طرف مورب تلاقی می‌کنند. شکل مشهورتر این اصل که امروزه در دبیرستان تدریس می‌شود و به اصل توازی اقلیدسی مشهور است عبارت است از: به ازای هر خط l و نقطه‌ی p غیر واقع بر آن تنها یک خط مانند m وجود دارد چنانچه از p می‌گذرد و با l موازی است.

این اصل را به این شکل نخستین بار جیرولامو ساکری طرح کرد.

چند جانشین دیگر برای این اصل پیشنهاد شده است:

• حداقل یک مثلث وجود دارد که مجموع سه زاویه‌ی آن برابر با 180 درجه است.
• دو مثلث متشابه غیر متساوی وجود دارند.
• دو خط مستقیم وجود دارند که همه جا از هم به یک فاصله‌اند.
• بر هر سه نقطه‌ی غیر واقع بر یک خط می‌توان دایره‌ای گذراند.
• بر هر نقطه‌ی داخل زاویه‌ای کمتر از 60 درجه می‌توان خط مستقیمی کشید که هر دو ضلع زاویه را قطع کند

 

versine and other functions

Versine

The versine or versed sine, versin (θ), is a trigonometric function equal to   1 − cos (θ) and 2sin²(½θ).

 

The versine or versed sine, versin (θ), is a trigonometric functionequal to    1 − cos (θ) and 2sin²(½θ).

 

There are several related functions, most notably the haversine, half the versine, known in the haversine formula of navigation. It is also written as vers(θ) or ver(θ). In Latin, it is known as the sinus versus (flipped sine) or the sagitta (arrow).

History and applications

Historically, the versed sine was considered one of the most important trigonometric functions, but it has fallen from popularity in modern times due to the availability of computers and scientific calculators.

As θ goes to zero, versin(θ) is the difference between two nearly equal quantities, so a user of a trigonometric table for the cosine alone would need a very high accuracy to obtain the versine, making separate tables for the latter convenient.

Even with a computer, round-off errors make it advisable to use the sin² formula for small θ. Another historical advantage of the versine is that it is always non-negative, so its logarithm is defined everywhere except for the single angle (θ = 0, 2π,...) where it is zerothus, one could use logarithmic tables for multiplications in formulas involving versines.

The haversine, in particular, was important in navigation because it appears in the haversine formula, which is used to accurately compute distances on a sphere given angular positions (e.g., longitude and latitude).

 One could also use sin2(θ/2) directly, but having a table of the haversine removed the need to compute squares and square roots. The term haversine was, apparently, coined in a navigation text for just such an application.

In fact, the earliest surviving table of sine (half-chord) values (as opposed to the chords tabulated by Ptolemy and other Greek authors), from the fourth–fifth century Siddhantas from India, was a table of values for the sine and versed sine only (in 3.75° increments from 0 to 90°). The versine appears as an intermediate step in the application of the half-angle formula sin²(θ/2) = versin(θ)/2, derived by Ptolemy, that was used to construct such tables.